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向量点乘的代数意义与几何意义的一致性说明  

2017-03-28 21:15:27|  分类: 计算机图形学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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一、向量点乘
在计算机图形学中,通常会通过点乘来判断两个向量的方向是否大致相同(或大致相反)。但是很多文档都是分别说明了代数和几何运算的意义,而没有说明或证明为什么相等(难道就我一个觉得这个相等并不直观以至于需要一个证明?),在网络上搜了下,发现说明并不好找,所以找到之后在这里备份下,原始说明在这里:

By writing

A_x=Acostheta_A    B_x=Bcostheta_B
(2)
A_y=Asintheta_A    B_y=Bsintheta_B,
(3)

it follows that (1) yields

A·B=ABcos(theta_A-theta_B)
(4)
=AB(costheta_Acostheta_B+sintheta_Asintheta_B)
(5)
=Acostheta_ABcostheta_B+Asintheta_ABsintheta_B
(6)
=A_xB_x+A_yB_y.
这里使用的是三角函数,其实看起来还是比较简单的,至少感觉比wiki上的说明更直观些。
二、意义
由于向量点乘结果的几何意义是长度和夹角cos的乘积,加上长度非负,结果的正负只跟角度的cos值有关,而(-90°,90°)为正数,90°为零,其它情况为负数,这样根据向量点乘结果的符号即可快速判断两个向量方向是否大致相同或者大致相反。
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